T10 数字特征 全期望公式和全方差公式 二维正态分布

设随机变量 $X$、$Y$，则有

$$\begin{array}{rl}E(X)& =E_X[E(X|Y)]\\ D(X)& =E_X[D(X|Y)]+D_X[E(X|Y)]\end{array}$$

例如： $X\sim N(0,1)$，且在已知 $X=x$ 条件下，$Y|X=x\sim N(x,1)$，则

$$\begin{array}{rl}E(Y)& =E_X[E(Y|X)]=E_X[X]=0\\ D(Y)& =E_X[D(Y|X)]+D_X[E(Y|X)]=E_X[1]+D_X[X]=1+1=2\\ E(XY)& =E_X[E(XY|X)]=E_X[XE(Y|X)]=E_X[X^2]=1\\ \rho & =\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{1-0\cdot 0}{\sqrt{1\cdot 2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$$

(bivariate-normal-distribution)= 二维正态分布

$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-\frac{2\rho (x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\}$