T18 对数不等式证明 拉格朗日中值定理

对 $\ln x$ 在 $(n,n+1)$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (n,n+1)$，使得 $\ln (n+1)-\ln n=\frac{1}{\xi }$, 且 $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{\xi }<\frac{1}{n}$，从而得到 $\frac{1}{n+1}<\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$。