高等数学

• 0 reminders collapsed:: true
  • 放缩相关 #🤔 考前记
    • 三角函数
      • $\sin x<x<\tan x,0<x<\frac{\pi }{2}$
      • $\frac{2}{\pi }x<\sin x<x<\frac{\pi }{2},0<x<\frac{\pi }{2}$
    • 指数对数
      • $x<e^x-1,x\ne 0$
      • $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x,x>-1,x\ne 0$
    • 均值不等式 id:: 693a87ab-8ab7-4df3-b53d-12f2c4d5f45b
      • $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$, 其中$a,b\ge 0$
      • 等号成立当且仅当$a=b$
    • 柯西不等式 id:: 693a87ab-3226-481f-9172-08cf82163836
      • $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd{)}^2$
      • 等号成立当且仅当$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$
    • 绝对值不等式 id:: 693b7a73-91e7-4dab-a05a-9890aa31c4fd
      • $|a|-|b|\le |a\pm b|\le |a|+|b|$
• 1 函数极限连续
  • 函数
    • 单调性
    • 奇偶性
      • 奇导偶 偶导奇
      • 奇原偶 偶原非奇(除了${\int }_0^{x}f(x)dx$)
      • 复合函数: 内偶则偶, 内奇同外
    • 周期性
      • 函数周期性充要条件
        • 存在最小正周期$T$, 使得对任意$x$均有$f(x+T)=f(x)$
      • 周期函数的原函数具有周期性的充要条件
        • 原函数存在最小正周期$T$, 且${\int }_0^{T}f(x)dx=0$
        • 充分条件
          • $f(x)$为奇函数
    • 有界性
      • 有界函数: 存在实数$M>0$, 对任意$x$均有$|f(x)|\le M$
      • 充分条件
        • 函数在闭区间上连续
        • 函数在开区间上连续且区间内侧极限存在
      • 函数在有限区间有界 $⟹$ 原函数在该区间有界
    • 复合函数
    • 反函数
      • 单调函数才有反函数
      • 反函数的导数: $(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$
      • 反函数与原函数关于$y=x$对称
  • 极限
    • 数列极限
      • ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=A⟺\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N},\text{s.t. }\forall n>N,|a_n-A|<\epsilon$
    • 函数极限
      • ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A⟺\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{s.t. }\forall x,0<|x-x_0|<\delta ,|f(x)-A|<\epsilon$
      • ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A⟺\forall \epsilon >0,\exists M>0,\text{s.t. }\forall x>M,|f(x)-A|<\epsilon$
      • 左右极限 #🕳 有坑
        • 分段函数 - 判断左右极限是否存在且相等
        • $e^{\infty }$ 型 - 判断趋向正无穷还是负无穷
          • ${\lim }_{x\to +\infty }{e}^x=+\infty$
          • ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^x=0$
        • $\arctan \infty$ 型 - 判断趋向正无穷还是负无穷
          • ${\lim }_{x\to +\infty }\arctan x=\frac{\pi }{2}$
          • ${\lim }_{x\to -\infty }\arctan x=-\frac{\pi }{2}$
    • 极限的保号性
      • 若${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A>0$, 则存在$\delta >0$, 当$0<|x-x_0|<\delta$时, $f(x)>0$
  • 连续
    • 连续的定义
      • 函数$f(x)$在点$x_0$处连续 $⟺$ 左右极限存在且相等且等于函数值
        • ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)$
    • 间断点
      • 第一类间断点
        • 可去间断点
        • 跳跃间断点
      • 第二类间断点
        • 无穷间断点
        • 震荡间断点
        • 以及其他类型
    • 闭区间连续函数 $⟹$
      • 有界性: 函数在该区间上有界
      • 最值性: 函数在该区间上取得最大值和最小值
      • 介值性: 若有 $f(a)\ne f(b)$, 则对介于$f(a)$与$f(b)$之间的任意值$C$, 存在$\xi \in (a,b)$, 使得$f(\xi )=C$
      • 零点定理: 若有 $f(a)f(b)<0$, 则存在$\xi \in (a,b)$, 使得$f(\xi )=0$
• 2 一元函数微分学
  • 导数与微分
    • 导数的定义
      • $f^{\prime }(x)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
      • $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
      • 函数在$x_0$处可导 $⟺$ 导数存在 $⟺$ 左右导数存在且相等
        • ${\lim }_{x\to x_0^{-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}={\lim }_{x\to x_0^{+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$
    • 隐函数求导法
      • 方程 $F(x,y)=0$ 确定的隐函数 $y=y(x)$(条件: $F_y^{\prime }(x,y)\ne 0$)
        • 两边对$x$求导: $F_x^{\prime }(x,y)+F_y^{\prime }(x,y)\cdot \frac{dy}{dx}=0$
        • 解得: $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }(x,y)}{F_y^{\prime }(x,y)}$
    • 参数方程求导法
    • 对数求导法
      • $y^{\prime }(x)=(u^v{)}^{\prime }=u^v{\left(v\ln u\right)}^{\prime }=u^v\left[v^{\prime }\ln u+v\frac{u^{\prime }}{u}\right]$
    • 高阶导数
      • 莱布尼茨公式(配合低阶有理式) #💪 额外练习
        • $(uv{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(n-k)}{v}^{(k)}$
    • 导数公式
      • $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$
      • $(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$
      • $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$
      • $(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$
      • $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
      • $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
      • $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
      • $(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
    • 常见概念性考点
      • 连续可导可微
        • 函数在$x_0$处可微 $⟺$ 函数在$x_0$处可导
          • $⟹$ 函数在$x_0$处连续(反之不成立)
      • 极限${\lim }_{x\to x_0}f(x)$, 函数值$f(x_0)$, 导数$f^{\prime }(x_0)$ 三者关系
        • 极限存在 $⟺$ 左右极限存在且相等
          • ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A$
        • 极限是否存在与函数值无关
        • 函数可导 $⟹$ 函数连续
          • $f^{\prime }(x_0)$ 存在 $⟹{\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
  • 微分中值定理 #🤔 考前记 #💪 额外练习
    • 费马引理
      • 若函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值, 且在$x_0$处可导, 则$f^{\prime }(x_0)=0$
    • 罗尔定理
      • 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续, 在开区间$(a,b)$内可导, 且$f(a)=f(b)$, 则存在$\xi \in (a,b)$, 使得$f^{\prime }(\xi )=0$
    • 拉格朗日中值定理
      • 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续, 在开区间$(a,b)$内可导, 则存在$\xi \in (a,b)$, 使得$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
    • 柯西中值定理
      • 若函数$f(x),g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续, 在开区间$(a,b)$内可导, 且$g^{\prime }(x)\ne 0$, 则存在$\xi \in (a,b)$, 使得 $\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$
      • 出现$\frac{f(x)}{\ln 2}$, $\frac{f(x)}{x^n}$等形式时, 可考虑令$g(x)=\ln 2$, $g(x)=x^n$
  • 极值点与拐点 #🤔 考前记
    • 极值点
      • 第一充分条件
        • $f^{\prime }(x)$在$x_0$处由正变负, 则$f(x)$在$x_0$处取得极大值
        • $f^{\prime }(x)$在$x_0$处由负变正, 则$f(x)$在$x_0$处取得极小值
      • 第二充分条件
        • 若$f^{\prime }(x_0)=0$
          • $f^{\prime \prime }(x_0)>0$, 则$f(x)$在$x_0$处取得极小值
          • $f^{\prime \prime }(x_0)<0$, 则$f(x)$在$x_0$处取得极大值
      • 第三充分条件
        • 从1阶开始: 若$f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$, 且$f^{(n)}(x_0)\ne 0$
          • $n$为偶数且$f^{(n)}(x_0)>0$, 则$f(x)$在$x_0$处取得极小值
          • $n$为偶数且$f^{(n)}(x_0)<0$, 则$f(x)$在$x_0$处取得极大值
          • $n$为奇数, 则$f(x)$在$x_0$处不取得极值
    • 凹向
      • 若$f^{\prime \prime }(x)>0$, 则$f(x)$在该区间内凹向上 正能量-笑脸
      • 若$f^{\prime \prime }(x)<0$, 则$f(x)$在该区间内凹向下 负能量-哭脸
    • 拐点
      • 第一充分条件
        • 若$f^{\prime \prime }(x)$在$x_0$处由正变负, 或由负变正, 则$x_0$为$f(x)$的拐点
      • 第二充分条件
        • 若$f^{\prime \prime }(x_0)=0$且$f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$, 则$x_0$为$f(x)$的拐点
      • 第三充分条件
        • 从2阶开始: 若$f^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$, 且$f^{(n)}(x_0)\ne 0$
          • $n$为奇数, 则$x_0$为$f(x)$的拐点
          • $n$为偶数, 则$x_0$不是$f(x)$的拐点
  • 渐近线
  • 曲率与曲率半径 #🤔 考前记
    • 曲率的定义
      • $\kappa ={\lim }_{\Delta s\to 0}\frac{|\Delta \alpha |}{\Delta s}$
    • 曲率公式
      • 设曲线$y=f(x)$在点$P(x,y)$处的切线与$x$轴的夹角为$\alpha$, 则曲率$\kappa$可表示为:
        • $\kappa =\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}}$
    • 曲率半径
      • $R=\frac{1}{\kappa }=\frac{(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}}{|y^{\prime \prime }|}$
  • 证明题归纳 #💪 额外练习
    • 关于凹函数的等价条件
      • 支撑线小于等于函数值小于等于割线
        • $f(\frac{a+b}{2})+f^{\prime }(\frac{a+b}{2})(x-\frac{a+b}{2})\le f(x)\le f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a),\forall x\in [a,b]$
      • 中点值小于等于平均值小于等于端点值
        • $f(\frac{a+b}{2})\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le \frac{f(a)+f(b)}{2}$
      • 三弦斜率单调递增
        • $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le \frac{f(b)-f(x)}{b-x},\forall x\in (a,b)$
      • 梯形估计大于等于积分
        • ${\int }_a^{b}f(x)dx\le \frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$
      • 中点估计小于等于积分
        • $f(\frac{a+b}{2})(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx$
    • 关于辅助函数构造
• 3 一元函数积分学
  • 不定积分 collapsed:: true
    • 定义: 等于被积函数的所有原函数 collapsed:: true
      • $\int f(x)dx=F(x)+C$, 其中$F^{\prime }(x)=f(x)$
    • 导积关系 #🤔 考前记
      • 幂函数
        • $x^{\alpha }\leftarrow \frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}$
        • $x\leftarrow \frac{x^2}{2}$
        • $x^2\leftarrow \frac{x^3}{3}$
        • $\sqrt{x}\leftarrow \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$
        • $x^{-\frac{3}{2}}\leftarrow -2x^{-\frac{1}{2}}$
        • $\frac{1}{x}\leftarrow \ln |x|$
        • $\frac{1}{x^2}\leftarrow -\frac{1}{x}$
        • $\frac{1}{x^3}\leftarrow -\frac{1}{2x^2}$
        • $\frac{1}{\sqrt{x}}\leftarrow 2\sqrt{x}$
      • 指数函数
        • $e^x\leftarrow e^x$
        • $a^x\leftarrow \frac{a^x}{\ln a}$
        • $e^{ax}\leftarrow \frac{1}{a}{e}^{ax}$
        • $\ln x\leftarrow x\ln x-x$
      • 三角函数
        • $\sin x\leftarrow -\cos x$
        • $\cos x\leftarrow \sin x$
        • $\tan x\leftarrow -\ln |\cos x|$
        • $\cot x\leftarrow \ln |\sin x|$
        • $\sec x\leftarrow \ln |\sec x+\tan x|$
        • $\csc x\leftarrow \ln |\csc x-\cot x|$
        • ${\sec }^{2}x\leftarrow \tan x$
        • ${\csc }^{2}x\leftarrow -\cot x$
        • $\sec x\tan x\leftarrow \sec x$
        • $\csc x\cot x\leftarrow -\csc x$
      • 反三角函数
        • $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\leftarrow \arcsin x$
        • $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\leftarrow \arcsin \frac{x}{a}$
        • $\frac{1}{1+x^2}\leftarrow \arctan x$
        • $\frac{1}{a+x^2}\leftarrow \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}$
      • 对数函数
        • $\frac{1}{x^2-1}\leftarrow \frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|$
        • $\frac{1}{1-x^2}\leftarrow \frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|$
        • $\frac{1}{a^2-x^2}\leftarrow \frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|$
        • $\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\leftarrow \ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)$
        • $\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\leftarrow \ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|$
    • 基本方法
      • 凑微分
        • $\int (e^{2x}{\sec }^{2}x+2\tan x{e}^{2x}se{c}^x)dx$
          • $=\int e^{2x}d\tan x+\int \tan xd{e}^{2x}$
          • $=e^{2x}\tan x+C$
      • 分部积分法
        • 列表法(多项式指数或三角)
        • 行列式(三角指数)
          • $\int e^{ax}\sin bxdx=\frac{\left|\begin{array}{cc}(e^{ax}{)}^{\prime }& (\sin bx{)}^{\prime }\\ e^{ax}& \sin bx\end{array}\right|}{a^2+b^2}+C$
      • 换元法
        • 三角代换
        • 根式代换(根号下一次方)
        • 倒代换(分母高次)
        • 万能代换(三角有理式)
          • 画直角三角形, 两直角边分别为$1-t^2$与$2t$, 斜边为$1+t^2$
          • $\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\tan x=\frac{2t}{1-t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt$
        • 整体代换
    • 化简手法
      • 拆项(分母有什么,分子就拆什么)
        • $\frac{1}{1+e^x}=1-\frac{e^x}{1+e^x}$
        • $\frac{x^2}{1-x^4}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)$
      • 提项(外面提,里面除)
        • $\frac{1}{x(x^7+2)}=\frac{1}{x^8(1+\frac{2}{x^7})}$
      • 同乘
        • 分母有理化
        • 同乘$e^x$
      • 同除
      • 配方
        • 根号内配完全平方
        • 质因式分母配方
    • 变限积分
      • 定义: 设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续, 则对任意$x\in [a,b]$, 存在唯一的函数值与${\int }_a^{x}f(t)dt$对应, 记作$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$
    • 反常积分
      • 无穷积分(无限区间)
      • 瑕积分(被积函数无界)
        • 瑕点在上限
        • 瑕点在下限
        • 瑕点在区间内(拆分)
      • 反常积分审敛
        • 利用反常积分定义计算
        • 比较判别法
          • 比较对象: p积分
            • ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx$
              • 收敛: $p>1$
              • 发散: $p\le 1$
            • ${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx$
              • 收敛: $p<1$
              • 发散: $p\ge 1$
          • 比较
            • ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{\frac{1}{x^p}}=c$
              • $0<c<\infty$ 时, 同敛散
              • $c=0$ 时, $\frac{1}{x^p}$ 收敛$⟹f(x)$ 收敛
              • $c=\infty$ 时, $\frac{1}{x^p}$ 发散 $⟹f(x)$ 发散
            • ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)}{\frac{1}{x^p}}=c$ 与上面相同
          • 伪无穷大
            • ${\lim }_{n\to \infty }{x}^{\alpha }(\ln x{)}^{\beta }=\infty$, 其中$\alpha >0$
  • 定积分
    • 定义: 设$f(x)$在区间$[a,b]$上有界, 将该区间分成$n$个子区间, 每个子区间上取一点, 形成和式${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$, 若当子区间宽度的最大值$\lambda \to 0$时, 该和式的极限存在且与分点的选取无关, 则称该极限为$f(x)$在$[a,b]$上的定积分, 记作${\int }_a^{b}f(x)dx$
    • 积分方法
      • 不定积分的方法(5种)
      • 区间再现
        • 原理
          • ${\int }_a^{b}f(x)dx\stackrel{x=a+b-t}{=}{\int }_a^{b}f(a+b-t)dt$
      • 奇偶性
        • $f(x)$为奇函数 $⟹{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$
        • $f(x)$为偶函数 $⟹{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$
      • 周期性
        • $f(x)$为周期函数, 周期$T$
          • ${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$
        • 三角函数
          • 从任何点开始积分一个周期 = 从0开始积分一个周期
      • Wallis公式
        • ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx$
          • $=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{为偶数}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!},& n\text{为奇数}\end{array}$
      • 平移变换
        • 通过换元将区间移动到方便计算的位置
        • ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{a-c}^{b-c}f(t+c)dt\stackrel{t=x-c}{=}{\int }_{a-c}^{b-c}f(x)dx$
    • 题型
      • 变限积分的定积分
        • 凑微分 分部积分
        • 交换积分次序
      • 定积分的极限
        • 比较定理
          • 放缩
          • 夹逼
        • 一个函数: 考虑积分中值定理
          • ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$, 其中$\xi \in (a,b)$
        • 两个函数: 考虑广义积分中值定理
          • ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$, 其中$g(x)$在$[a,b]$上不变号且可积, $\xi \in (a,b)$
    • 定积分的应用
      • 面积
      • 体积
        • 旋转体体积
          • 平面域 $D$ 绕直线$L:ax+by+c=0$ 旋转一周所成的旋转体体积记为$V$ (直线$L$ 不与区域$D$ 相交):
            • $dV=2\pi r(x,y)d\sigma$, 其中 $r(x,y)$ 为点 $(x,y)$ 到直线$L$ 的距离
            • $V=2\pi {\iint }_{D}r(x,y)d\sigma$
            • $r(x,y)=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
          • 特例
            • 绕$x$轴旋转: $V=2\pi {\iint }_D|y|d\sigma =\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$
            • 绕$y$轴旋转: $V=2\pi {\iint }_D|x|d\sigma =2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$
      • 弧长
        • 直角坐标 $s={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$
        • 参数方程 $s={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$
        • 极坐标方程 $s={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\sqrt{[r(\theta ){]}^2+{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2}d\theta$
      • 侧面积
        • $S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$
      • 质心
        • $\bar{x}=\frac{{\int }_{L}x\rho (x,y)ds}{{\int }_L\rho (x,y)ds}$
        • $\bar{y}=\frac{{\int }_{L}y\rho (x,y)ds}{{\int }_L\rho (x,y)ds}$
      • 转动惯量
        • $I_x={\int }_L{y}^2\rho (x,y)ds$
        • $I_y={\int }_L{x}^2\rho (x,y)ds$
      • 物理应用
        • 做功 $W={\int }_a^{b}F(x)dx$
        • 万有引力 $F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$
        • 液体压力 $P=\rho g{\int }_a^{b}f(x)dx$
      • 平均值
        • 区间$[a,b]$ 上函数$f(x)$的平均值
          • $\bar{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$
• 4 常微分方程
  • 基本概念
    • 解的结构
      • 齐次方程: 通解 = 基础解系的线性组合
      • 非齐次方程: 通解 = 齐次方程通解 + 特解
    • 解的性质
      • 线性叠加原理
        • 若$y_1(x),y_2(x)$分别为非齐次方程$y^{\prime }+p(x)y=f_1(x)$与$y^{\prime }+p(x)y=f_2(x)$的解, 则$y=y_1(x)+y_2(x)$为非齐次方程$y^{\prime }+p(x)y=f_1(x)+f_2(x)$的解
  • 一阶微分方程
    • 分离变量
    • 凑微分
      • $2y{y}^{\prime }\leftarrow (y^2{)}^{\prime }$
      • $\frac{ydx-xdy}{y^2}\leftarrow {\left(\frac{x}{y}\right)}^{\prime }$
    • 一阶线性微分方程
  • 可降阶的高阶微分方程 #🤔 考前记
    • 不显含$x$
      • 设$y^{\prime }=p$, 则$y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}$, 化为关于$p$与$y$的一阶方程
    • 不显含$y$
      • 设$y^{\prime }=p$, 则$y^{\prime \prime }=p^{\prime }\frac{dp}{dx}$, 化为关于$p$与$x$的一阶方程
    • 伯努利方程
      • 形式: $y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n$
      • 变形: 令$z=y^{1-n}$, 则$z^{\prime }+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)$, 化为关于$z$与$x$的一阶线性方程
    • 欧拉方程
      • 形式: $x^2{y}^{\prime \prime }+px{y}^{\prime }+qy=f(x)$，其中 $p,q$ 为常数
      • 变形:
        • 令$x=e^t$
        • $Dy=\frac{dy}{dt}=x\frac{dy}{dx}$
        • $D^{2}y-Dy=x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$
        • 化为$D^{2}y+(p-1)Dy+qy=f(e^t)$
  • 二阶常系数线性微分方程
    • 齐次方程
      • 形式: $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$
      • 特征方程
        • $r^2+pr+q=0$
      • 解的结构
        • 实根$r_1\ne r_2$: $y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
        • 重根$r$: $y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$
        • 共轭复根$\alpha \pm \beta i$: $y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$
    • 非齐次方程 🤔 考前记
      • 形式: $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$
      • 待定系数法
        • $f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$ 型
          • 特解形式: $y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}{R}_m(x)$
            • 其中$k$为特征方程$r^2+pr+q=0$的根$\lambda$的重数, $R_m(x)$为$m$次待定多项式
        • $f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos \beta x+Q_n(x)\sin \beta x]$ 型
          • 特解形式: $y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}[R_l(x)\cos \beta x+S_l(x)\sin \beta x]$
            • 其中$k$为特征方程$r^2+pr+q=0$的根$\alpha \pm \beta i$的重数, $l=\max (m,n)$, $R_l(x),S_l(x)$为$l$次待定多项式
  • 微分方程的应用 #💪 额外练习
    • 结合导数的几何含义求函数
    • 变化率相关物理应用
      • 温度变化率
      • 加速度
      • 变力做功
      • 浮力与下沉速度
      • 万有引力做功
    • 与级数结合求和函数
• 5 多元函数微分学 collapsed:: true
  • 多元微分的概念
    • 重极限
      • 定义
        • ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A⟺\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$, 当$\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$时, 有$|f(x,y)-A|<\epsilon$
      • 证明重极限不存在
        • 取不同路径求极限, 若结果不同则极限不存在
          • 常用路径
            • $y=kx$
            • $y=x^2$
            • $x=0$
            • $y=0$
        • 极坐标
          • 令$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$, $\theta \in [0,2\pi ]$
          • 则${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{\alpha }{y}^{\beta }}{x^2+y^2}={\lim }_{r\to 0}{r}^{\alpha +\beta -2}{\cos }^{\alpha }\theta {\sin }^{\beta }\theta$
            • 当$\alpha +\beta >2$时, 极限为0
            • 当$\alpha +\beta \le 2$时, 极限不存在
      • 证明重极限存在
        • 夹逼定理
      • 已知重极限求全微分
        • 分母趋于0, $⟹$ 分子也趋于0
        • 利用连续脱极限号, 再凑可微定义
    • 连续
      • 定义(重极限=函数值)
        • 设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义, 若${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$, 则称$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续
    • 全微分
      • 定义
        • 设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义
        • $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$
        • 若$\Delta z$能表示为$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$, 其中$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$, $A,B$为不依赖于$\Delta x,\Delta y$的常数
        • 则称$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微, 并称$dz=Adx+Bdy$为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的全微分
      • 可微充分条件
        • 若$f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)$均存在且在点$(x_0,y_0)$处连续, 则$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微
      • 可微必要条件一
        • 若$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微, 则$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续
      • 可微必要条件二
        • 若$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微, 则偏导数$f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)$均存在, 且$df=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy$
      • 可微充要条件
        • $f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微
        • $⟺{\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$
        • $⟺{\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}=0$
    • 偏导数
      • 定义
        • 设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义
        • 若极限${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$存在, 则称该极限为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数, 记作$f_x(x_0,y_0)$
        • 若极限${\lim }_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$存在, 则称该极限为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$y$的偏导数, 记作$f_y(x_0,y_0)$
      • 几何意义
        • $f_x(x_0,y_0)$ 表示曲线$z=f(x,y_0)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$轴的斜率
      • 二阶混合偏导
        • 若$f_{xy}(x,y)$与$f_{yx}(x,y)$均连续, 则$f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$
    • 相互关系 #🤔 考前记
      • 偏导数均连续 $⟹$ 可微
      • 可微 $⟹$ 偏导数存在
      • 可微 $⟹$ 函数连续
      • 偏导数存在 $\nLeftrightarrow$ 函数连续
  • 多元复合求导
    • 多元复合求偏导
      • 链式法则
    • 多元隐函数求导
      • 公式法
        • $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$
          • $F(x,y,z)=0$两边对$x$或$y$求偏导, 其中$z$视为$x,y$的隐函数, $x,y$为自变量
  • 极值与最值
    • 无条件极值
      • 必要条件
        • 若$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处取得极值, 且$f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)$均存在, 则$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$
      • 二阶充分条件y/x
        • 设$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处有二阶偏导数, 且$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$
        • 记$A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0)$
        • 则当$AC-B^2>0$且$A>0$时, $f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处取得极小值
        • 当$AC-B^2>0$且$A<0$时, $f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处取得极大值
        • 当$AC-B^2<0$时, $f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处不取极值
        • 当$AC-B^2=0$时, 该条件不能确定极值性质
    • 条件极值
      • 拉格朗日乘数法
        • 构造拉格朗日函数: $L(x,y,z,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$
        • 求偏导并令其为0: $\{\begin{array}{l}{L}_x=0\\ L_y=0\\ L_z=0\\ g(x,y,z)=0\end{array}$
      • 几何意义
        • 在约束条件$g(x,y,z)=0$所表示的曲面上寻找$f(x,y,z)$的极值点
    • 有界闭区域上的最值
      • 步骤
        • 求出区域内的驻点及其函数值
        • 求出区域边界上的极值及其函数值
        • 比较上述各点的函数值, 最大值为最大值, 最小值为最小值
      • 有时可考虑 ((693a87ab-8ab7-4df3-b53d-12f2c4d5f45b)) ((693a87ab-3226-481f-9172-08cf82163836))
• 6 二重积分 collapsed:: true
  • 定义
    • 设函数$f(x,y)$在闭域$D$上有界, 将$D$分割成$n$个小域$D_1,D_2,\dots ,D_n$, 每个小域上取一点$({\xi }_i,{\eta }_i)$, 形成和式${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$, 其中$\Delta {\sigma }_i$为小域$D_i$的面积
    • 若当分割越来越细时, 该和式的极限存在且与分点的选取无关, 则称该极限为$f(x,y)$在区域$D$上的二重积分, 记作${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$
  • 计算步骤
    • 观察被积函数
      • 线性函数$f(x,y)=ax+by+c$
        • 形心公式
          • 若$D$的面积为$S$, 形心坐标为$(\bar{x},\bar{y})$, 则${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\bar{x},\bar{y})\cdot S$
      • 带绝对值/最值/取整函数
        • 找到分界线, 利用区间可加性拆分区域
    • 观察积分区域
      • 积分区域具有对称性
        • 关于x轴或y轴对称
          • 关于x轴对称, 看y的奇偶性
          • 关于y轴对称, 看x的奇偶性
          • 偶倍奇零
        • 关于原点对称
          • $f(-x,-y)=f(x,y)$时, 积分值为2倍
          • $f(-x,-y)=-f(x,y)$时, 积分值为0
        • 关于直线$y=x$对称 交换$x,y$后, 积分区域不变
          • 广义轮换对称
            • 被积函数, 积分区域同时交换$x,y$ ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D^{\prime }}f(y,x)d\sigma$
          • 一半交换, 一半不变
            • ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(y,x)d\sigma =\frac{1}{2}{\iint }_D[f(x,y)+f(y,x)]d\sigma$
          • 等于某一半区域的2倍
            • ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =2{\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma$
      • 积分区域难以处理
        • 做辅助线 构造对称区域
        • 增补区域
    • 开始计算
      • 直角坐标
        • 后积先定限, 限内穿条线, 先交为下限, 后交为上限
      • 极坐标
        • 适用情况
          • 被积函数含平方和
          • 积分区域出现平方和
          • 区域以极坐标给出
          • 被积函数为齐次函数
            • $x,y$次数相同
            • $f(\frac{y}{x})$ 型 可以消去r
        • 两类重要偏心圆
          • $r=\pm 2a\cos \theta$ 或 $r=\pm 2a\sin \theta$
          • 
      • 平移变换
        • $x,y$加减常数换为$u,v$
        • 换元三换
          • 积分区域
          • 被积函数
          • 微分
      • 雅可比行列式
        • 令$x=x(u,v),y=y(u,v)$, 则有
          • $J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|$
        • 则二重积分变换为
          • ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D^{\ast }}f[x(u,v),y(u,v)]|J|dudv$
• 7 无穷级数
  • 数项级数
    • 必要条件: 一般项趋于零
    • 正项级数
      • 比较审敛法
      • 比值审敛法
      • 根值审敛法
      • 积分审敛法
      • 特殊级数
        • p级数: $\sum \frac{1}{n^p}$
          • 收敛: $p>1$
        • 几何级数: $\sum a{r}^{n-1}$
          • 收敛: $|r|<1$
    • 交错级数
      • 莱布尼兹审敛法
        • 一般项单调递减且趋于零，则级数收敛
      • 特殊级数
        • 交错调和级数: $\sum (-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}$
          • 收敛，但不绝对收敛
    • 任意项级数
      • 绝对收敛与条件收敛
        • 一般性结论
          • 绝收 + 绝收 = 绝收
          • 绝收 + 条收 = 条收
          • 条收 + 条收 = 不确定
        • 利用比较审敛法
        • 利用 {{embed ((693b7a73-91e7-4dab-a05a-9890aa31c4fd))}}
    • 注意事项
      • 等价无穷小代替, 只能用于正项级数
      • 等价无穷小无法做的时候, 考虑夹逼
  • 幂级数
    • 相关概念
      • 幂级数的一般形式: $\sum a_n(x-x_0{)}^n$
      • 阿贝尔定理
        • 若幂级数$\sum a_n(x-x_0{)}^n$在$x=x_1$处收敛, 则在$|x-x_0|<|x_1-x_0|$内绝对收敛
        • 若幂级数$\sum a_n(x-x_0{)}^n$在$x=x_2$处发散, 则在$|x-x_0|>|x_2-x_0|$内发散
    • 求收敛半径
      • 对于连续的幂级数, 使用比值或根值法, 不用带$x^n$
        • $A={\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
        • $A={\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}$
        • 收敛半径$R=\frac{1}{A}$
      • 对于不连续的幂级数, 需要带$x^n$, 求出使级数收敛的$x$范围
    • 求和函数
      • 利用已知函数的幂级数, 通过积分或微分得到新的幂级数
      • 泰勒公式
        • $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$
      • 常见幂级数展开 #🤔 考前记
        • $e^x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$
        • $\sin x={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
        • $\cos x={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
        • $\frac{1}{1-x}={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n$ ($|x|<1$)
        • $\ln (1+x)={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$ ($|x|<1$)
        • $(1+x{)}^m={\sum }_{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n})x^n$ ($|x|<1$)
        • $\arctan x={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ ($|x|<1$)
      • 逐项求导与积分 #🕳 有坑
        • 逐项求导
          • $S(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$
          • $⟹S^{\prime }(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^{n-1}=\frac{1}{1-x}$
        • 逐项积分
          • $S^{\prime }(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n+1}$
          • $⟹S(x)={\int }_0^x\frac{1}{1-t}dt=-\ln (1-t){|}_0^x=-\ln (1-x)$
        • 注意
          • 不要忘记积分下限
          • $S(x)$ 在收敛点处可能需要分段讨论
          • $\sum$ 的起点, $\ln (1+x)$从$0$开始
  • 傅里叶级数 collapsed:: true
    • 基本概念 #🤔 考前记
      • 设$f(x)$在区间$[-l,l]$上有定义且满足狄利克雷条件, 则$f(x)$的傅里叶级数为:
        • $f(x)\sim \frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }[a_n\cos (\frac{n\pi x}{l})+b_n\sin (\frac{n\pi x}{l})]$
      • 其中傅里叶系数为:
        • $a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx$
        • $a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos (\frac{n\pi x}{l})dx$
        • $b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin (\frac{n\pi x}{l})dx$
      • 奇偶性
        • 奇函数: 仅含正弦项
          • $f(x)\sim {\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n\sin (\frac{n\pi x}{l})$
        • 偶函数: 仅含余弦项
          • $f(x)\sim \frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\cos (\frac{n\pi x}{l})$
        • 周期延拓
          • 奇延拓: 适用于奇函数
          • 偶延拓: 适用于偶函数
    • 狄利克雷定理
      • 狄利克雷条件
        • $f(x)$在一个周期内
          • 连续或有限个第一类间断点
          • 单调或有限个极值点
      • 若$f(x)$在区间$[-l,l]$上满足狄利克雷条件, 则其傅里叶级数在$x$处收敛于:
        • $\frac{f(x^{+})+f(x^{-})}{2}$
    • 最佳均方逼近
      • 当$a_n,b_n$取$f(x)$的傅里叶系数时, 使得积分 ${\int }_{-l}^l[f(x)-S_n(x){]}^{2}dx$ 取得最小值, 即为$f(x)$的最佳均方逼近
• 8 向量代数空间几何 collapsed:: true
  • 向量代数 collapsed:: true
    • 点积 内积
      • $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|a||b|\cos \theta =(a_1,a_2)\cdot (b_1,b_2)=a_1{b}_1+a_2{b}_2$
      • 若$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$, 则$a\perp b$
    • 叉积 向量积
      • $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$
      • 模长: $|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|a||b|\sin \theta$(平行四边形面积)
      • 方向: 拇指指向$\mathbf{a}$, 食指指向$\mathbf{b}$, 中指所指方向为$\mathbf{a}\times \mathbf{b}$的方向(右手定则)
      • 若$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=0$, 则$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$
      • 反交换律: $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times \mathbf{a})$
    • 混合积
      • $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$
      • 几何意义: 平行六面体体积
  • 空间平面与直线 collapsed:: true
    • 空间平面 collapsed:: true
      • 点法式
        • $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
        • 法向量: $\mathbf{n}=(A,B,C)$
      • 截距式
        • $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
        • 其中$a,b,c$分别为平面在$x,y,z$轴上的截距
        • 法向量: $\mathbf{n}=\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)$
      • 一般方程
        • $Ax+By+Cz+D=0$
        • 法向量: $\mathbf{n}=(A,B,C)$
    • 空间直线 collapsed:: true
      • 点向式
        • $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$
        • 方向向量: $\mathbf{s}=(l,m,n)$
      • 参数式
        • $\{\begin{array}{l}x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\\ z=z_0+nt\end{array}$
        • 方向向量: $\mathbf{s}=(l,m,n)$
      • 一般方程
        • $\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$
        • 方向向量: $\mathbf{s}=(A_1,B_1,C_1)\times (A_2,B_2,C_2)$
    • 平面束方程 collapsed:: true
      • 由平面${\pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$与平面${\pi }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$所确定的平面束方程为:
        • $\pi :\lambda (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1)+\mu (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0$
        • 其中$\lambda ,\mu$不同时为零
    • 距离公式 collapsed:: true
      • 点$P_0(x_0,y_0,z_0)$到平面$\pi :Ax+By+Cz+D=0$的距离:
        • $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
      • 点$P_0(x_0,y_0,z_0)$到直线$l:\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}$的距离:
        • 原理: 叉积模长除以方向向量模长(平行四边形面积除以底)
        • $d=\frac{|\mathbf{PM}\times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|}$
        • 其中$\mathbf{PM}=(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)$
      • 直线$l_1$过$P_1(x_1,y_1,z_1)$, 方向向量为${\mathbf{s}}_1=(l_1,m_1,n_1)$; 直线$l_2$过$P_2(x_2,y_2,z_2)$, 方向向量为${\mathbf{s}}_2=(l_2,m_2,n_2)$; 则$l_1$到$l_2$的距离:
        • 原理: 混合积除以叉积模长(平行六面体面积除以底面积)
        • $d=\frac{|{\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2\cdot ({\mathbf{s}}_1\times {\mathbf{s}}_2)|}{|{\mathbf{s}}_1\times {\mathbf{s}}_2|}$
        • 其中${\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$
  • 空间曲面与曲线 collapsed:: true
    • 旋转面方程
      • 平面直线$L:\{\begin{array}{l}f(x,z)=0\\ y=0\end{array}$绕$z$轴旋转一周所成的旋转面方程为:
        • $f(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0$
        • 设$P(x,y,z)$是旋转面上任意一点, 由$P_0(x_0,0,z)$旋转而来
          • 则$\left|x_0\right|=\sqrt{x^2+y^2}$, $z=z_0$
          • 代入直线方程$f(x_0,z_0)=0$即得旋转面方程
    • 二次曲面
      • 椭球面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
      • 单叶双曲面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
      • 双叶双曲面: $\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
      • 二次锥面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$
      • 旋转抛物面: $z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$
      • 椭圆柱面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
      • 双曲柱面: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
      • 抛物柱面: $z=\frac{y^2}{b^2}$
    • 投影方程
      • 设空间曲线$C$由方程组 $\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$ 所确定, 则曲线$C$在平面$xOy$上的投影曲线$C_{xy}$由方程组 $\{\begin{array}{l}F(x,y,0)=0\\ G(x,y,0)=0\end{array}$ 所确定
        • 注意: 结果中要包含$z=0$
  • 方向导数与梯度 collapsed:: true
    • 方向导数
      • 定义 #🥶 冷门
        • 设函数$z=f(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$处有定义, 若沿某一方向$l$由点$P$引出一条射线, 则该方向导数定义为:
          • $\frac{\partial z}{\partial l}={\lim }_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\sin \alpha )-f(x_0,y_0)}{t}$
          • 其中$\alpha$为方向$l$与$x$轴的夹角
      • 计算方法: 若$z=f(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$处偏导数存在, 则沿方向$l$的方向导数可由下式计算:
        • $\frac{\partial z}{\partial l}=f_x^{\prime }(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y^{\prime }(x_0,y_0)\sin \alpha =\mathbf{grad}f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{u}$
        • 其中$\mathbf{u}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$为方向$l$的单位向量
    • 梯度 id:: 6938ec53-c8c2-447e-9db5-0d7204d0b2dc
      • 定义: 设函数$z=f(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$处有定义, 则函数$f$在点$P$处的梯度定义为:
        • $\mathbf{grad}f(x_0,y_0)=(f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0))$
      • 几何意义: 梯度$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$是函数$f$在点$P$处增长最快方向的方向, 其模长等于该方向上的最大方向导数
        • $\max \frac{\partial z}{\partial l}=\left|\mathbf{grad}f(x_0,y_0)\right|=\sqrt{(f_x^{\prime }{)}^2+(f_y^{\prime }{)}^2}$
• 9 多元函数积分学 collapsed:: true
  • 三重积分 #🤔 考前记 collapsed:: true
    • 先一后二(类似一盒薯条)
      • $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{D}{\iint }\left[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right]d\sigma$
      • 确定积分域$Dxy$(即投影到$xy$平面上的区域)
      • 限内画条线, 确定$z$的上下限$z_1(x,y),z_2(x,y)$
    • 先二后一(类似千层饼)
      • $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV={\int }_{z=a}^{z=b}\left[\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)d\sigma \right]dz$
      • 确定积分域$D_z$(即在某一$z$值下的截面区域)
      • $z$的上下限为常数 $a,b$
      • 算内部二重积分时, $z$视为常数
    • 柱面坐标系
      • 变量替换:
        • $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$
      • 雅可比行列式:
        • $J=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }& \frac{\partial x}{\partial z}\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }& \frac{\partial y}{\partial z}\\ \frac{\partial z}{\partial r}& \frac{\partial z}{\partial \theta }& \frac{\partial z}{\partial z}\end{array}\right|=r$
      • 积分公式:
        • $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{{\Omega }^{\ast }}{\iiint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)\cdot rdrd\theta dz$
    • 球面坐标系
      • 变量替换:
        • $\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta \\ y=r\sin \phi \sin \theta \\ z=r\cos \phi \end{array}$
      • 雅可比行列式:
        • $J=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \phi }& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \phi }& \frac{\partial y}{\partial \theta }\\ \frac{\partial z}{\partial r}& \frac{\partial z}{\partial \phi }& \frac{\partial z}{\partial \theta }\end{array}\right|=r^2\sin \phi$
      • 积分公式:
        • $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{{\Omega }^{\ast }}{\iiint }f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )\cdot r^2\sin \phi drd\phi d\theta$
    • 注意事项
      • 轮换对称性
        • 交换变量$x,y,z$后, 积分值不变
      • 奇偶性
        • 当积分区域关于$xOy$面对称时
          • 若被积函数关于$z$为奇函数, 则积分值为0
          • 若被积函数关于$z$为偶函数, 则积分值为该区域上半部分的二倍
      • 积分次序
        • 尽量先对被积函数中出现次数少的变量积分
  • 线面积分 #💪 额外练习
    • 一型线(沿弧长)
      • 形式
        • ${\int }_{L}f(x,y,z)ds$
      • 参数方程
        • 弧长微元: $ds=\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$
      • 直角坐标
        • 弧长微元: $ds=\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx$
      • 极坐标
        • 弧长微元: $ds=\sqrt{r^2+{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2}d\theta$
    • 二型线(沿坐标)
      • 形式
        • ${\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz$
      • 直接法(将$dx,dy,dz$表示为参数$t$的函数)
        • ${\int }_{L}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz={\int }_a^b\left[P(x(t),y(t),z(t))\frac{dx}{dt}+Q(x(t),y(t),z(t))\frac{dy}{dt}+R(x(t),y(t),z(t))\frac{dz}{dt}\right]dt$
        • 注意定积分的上下限, 需要与曲线的方向一致
      • 格林公式
        • ${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)d\sigma$
          • 其中$L$为区域$D$的正向边界曲线
        • 格林公式考点 #🤔 考前记
          • 曲线$L$内部区域$D$无奇点
            • 有奇点时, 需将奇点围成小闭曲线进行排除
              • $I={\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_{D-D^{\prime }}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)d\sigma +{\oint }_{L^{\prime }}Pdx+Qdy$
              • 其中$L^{\prime }$为围绕奇点的与$L$同向的闭曲线
          • 曲线$L$必须是闭合曲线
            • 非闭合时, 补线段成闭合曲线
              • $I={\int }_{L}Pdx+Qdy={\oint }_{L+L^{\prime }}Pdx+Qdy-{\int }_{L^{\prime }}Pdx+Qdy$
              • 其中$L^{\prime }$为补线段, 注意前后两次计算方向一致
            • 非闭合时, 求出原函数, 直接对端点上下限求积分
        • 积分与路径无关的等价条件(在单连通区域$D$内)
          • 对 $D$ 内任意闭路 $C$，有 ${\oint }_{C}Pdx+Qdy=0$
          • 对 $D$ 内任意两点间的积分，其值与路径无关
          • 在 $D$ 内恒有 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ （最常用判据）
          • $Pdx+Qdy$ 是某个函数 $u(x,y)$ 的全微分（即 $du=Pdx+Qdy$），称 $u(x,y)$ 为原函数
      • 斯托克斯公式(空间)
        • $\begin{array}{rl}{\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz& ={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|\mathrm{d}S\\ & ={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d}y\mathrm{d}z& \mathrm{d}z\mathrm{d}x& \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|\end{array}$
          • 其中$L$为曲面$\Sigma$的正向边界曲线, $L$的方向与曲面$\Sigma$的法向方向遵循右手定则
        • 斯托斯托克斯考点 #🤔 考前记
          • 方向问题
            • 计算法向量: $\mathbf{n}=\nabla F$, 取和曲线法向量一致的方向
          • 取平面的问题
            • 如果曲线是两个平面的交线, 则任选其一作为曲面, 最好取计算较简单的那个
          • 进一步处理二型面
            • ((6938fdaa-75fc-4513-8f09-9f95089c02fa))
            • ((69390503-a1ce-4c7c-a9d5-b6696fb02ea1))
    • 一型面(沿面积)
      • 形式
        • ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$
      • 直接法(将$dS$投影到平面$xOy$上)
        • 若曲面$\Sigma$由方程$z=z(x,y)$所确定, 则
          • $dS=\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}dxdy$
        • 积分公式:
          • ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{D}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}dxdy$
    • 二型面(沿坐标)
      • 形式
        • ${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$
      • 直接法(将积分全部投影到平面$xOy$上) id:: 6938fdaa-75fc-4513-8f09-9f95089c02fa
        • 若曲面$\Sigma$由方程$z=z(x,y)$所确定, 则
          • 取上侧, 单位法向量为 $\mathbf{n}=\frac{(-z_x^{\prime },-z_y^{\prime },1)}{\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}}$, 记作 $(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$
          • $\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\frac{\cos x}{\cos \gamma }\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
          • $\mathrm{d}z\mathrm{d}x=\frac{\cos y}{\cos \gamma }\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
        • 积分公式:
          • ${\iint }_{\Sigma }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_D\left[P(x,y,z)(-z_x^{\prime })+Q(x,y,z)(-z_y^{\prime })+R(x,y,z)\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
      • 高斯公式(散度定理) id:: 69390503-a1ce-4c7c-a9d5-b6696fb02ea1
        • $\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iiint }_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$
          • 其中$\Sigma$为闭曲面, $V$为由$\Sigma$所围成的空间区域
        • 高斯公式补面的问题 #🤔 考前记
          • 若$\Sigma$不是闭曲面, 则需补上封闭曲面${\Sigma }^{\prime }$使其闭合
          • 计算时, 需注意补面${\Sigma }^{\prime }$的法向量方向是否与原曲面$\Sigma$一致, 若不一致, 则需取负号
    • 一二型积分的联系 #🤔 考前记
      • ${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{\Sigma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$
    • 线面积分性质
      • 奇偶性
        • 对于一型线面积分(标量)
          • 奇函数在对称区间上的积分为零
        • 对于二型线面积分(向量)
          • 对于面积分
            • 若 $\Sigma$ 关于 $yz$ 平面对称，且 $P(x,y,z)$ 是 $x$ 的偶函数，则 ${\iint }_{\Sigma }Pdydz=0$
            • 若 $\Sigma$ 关于 $xz$ 平面对称，且 $Q(x,y,z)$ 是 $y$ 的偶函数，则 ${\iint }_{\Sigma }Qdzdx=0$
            • 若 $\Sigma$ 关于 $xy$ 平面对称，且 $R(x,y,z)$ 是 $z$ 的偶函数，则 ${\iint }_{\Sigma }Rdxdy=0$
      • 轮换对称性
        • 对于一型线面积分(标量): 对称区域上，轮换变量，被积函数的积分值不变
        • 对于二型线面积分(向量): 对称区域上，轮换变量+轮换微元，整个积分表达式的值不变
  • 场论 collapsed:: true
    • {{embed ((6938ec53-c8c2-447e-9db5-0d7204d0b2dc))}}
    • 散度
      • 向量场$\mathbf{F}(x,y,z)=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k}$ 的散度定义为:
        • $\mathrm{div}\mathbf{F}=\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
        • 其中$\nabla =\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)$ 为梯度算子
    • 旋度 #🥶 冷门
      • 向量场$\mathbf{F}(x,y,z)=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k}$ 的旋度定义为:
        • $\mathbf{rot}\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$
    • 注意事项
      • 散度是数量, 旋度是向量