T10 假设检验 拒绝域和置信区间

注意：拒绝域的分母是 $\sigma$，即标准差

设总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，样本容量为 $n$，样本均值为 $\bar{X}$。

拒绝域

• 显著性水平为 $\alpha$ 的单侧检验
  • 左侧检验：$H_0:\mu \ge {\mu }_0$，拒绝域 $(-\infty ,{\mu }_0-z_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$
  • 右侧检验：$H_0:\mu \le {\mu }_0$，拒绝域 $({\mu }_0+z_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}},+\infty )$
• 显著性水平为 $\alpha$ 的双侧检验
  • $H_0:\mu ={\mu }_0$，拒绝域 $(-\infty ,{\mu }_0-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})\cup ({\mu }_0+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},+\infty )$

关系总结：

• 显著性水平 $\alpha$: 犯弃真误的概率不超过 $\alpha$。如 $H_0$ 为 $\mu ={\mu }_0$
  • 则犯弃真误的概率为 $P\{H_0\text{ 被拒绝}|H_0\text{ 真}\}=P(|\bar{X}-{\mu }_0|>z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})=\alpha$
• 置信区间 $1-\alpha$: 没有犯错的概率至少为 $1-\alpha$
  • 则没有犯错的概率为 $P\{H_0\text{ 被接受}|H_0\text{ 真}\}=P(|\bar{X}-\mu |\le z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})=1-\alpha$
  • $\mu$ 的置信区间为 $(\bar{X}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$