T11 路径无关等价条件

设 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在区域 $D$ 内具有连续偏导数，则下列条件等价：

1. $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 在 $D$ 内成立；
2. $D$ 内任意闭曲线积分 ${\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0$；
3. 存在 $u(x,y)$ 使 $\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 在 $D$ 内成立；

如果一个矢量场 $\mathbf{F}(x,y,z)$ 是某个标量函数 $\varphi (x,y,z)$ 的梯度场，即 $\mathbf{F}=\mathbf{grad}\varphi$，则称 $\mathbf{F}$ 为保守场，并且对于 $\mathbf{F}$ 的线积分与路径无关。