T17 幂级数收敛域 偶次项 积分类型

• 含偶次项：${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^{2n}=\frac{1}{1-x^2}$
• 需要积分处理：$S(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
  • 由于 $S^{\prime }(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^{2n}=\frac{1}{1-x^2}$
  • 故 $S(x)-S(0)={\int }_0^x\frac{1}{1-t^2}dt=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$
• 含有奇点的需要特殊处理: $x=0$ 单独讨论