T17 数列证明

⚠️ 注意：永远不要忘记微分方程

求 $S(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 一般两种思路：

• 间接法：根据 $a_n$ 通项公式，结合已知的级数求和公式，求出 $S(x)$
• 直接法：根据 $a_n$ 的递推关系，构造微分方程, 求解 $S(x)$

本题 $a_1=1,(n+1)n_{n+1}=(n+1/2)a_n$

• $a_n=2\frac{(n-\frac{1}{2})!}{n!}$, 不适合用间接法