T18 证明微分方程存在唯一周期为 $T$ 的解

• $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$, 通解 $y(x)=e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}\left(\int q(x)e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right)$
• 由周期条件 $y(x+T)-y(x)=0$ 解出 $C$ 的唯一值，故存在唯一周期为 $T$ 的解
  • $e^{-T}{\int }_T^{x+T}{e}^{t}q(x)\mathrm{d}t\stackrel{t=s+T}{=}{e}^{-T}{\int }_0^x{e}^{s+T}q(s)\mathrm{d}s={\int }_0^x{e}^{s}q(s)\mathrm{d}s$