T19 三重积分 投影法

投影法 (先二后一)

设三重积分区域 $\Omega$ 投影到 $xy$ 平面为 $D$，则

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\mathrm{d}V={\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$$

截面法 (先一后二)

设三重积分区域 $\Omega$ 在 $z=k$ 平面上的截面为 $D_k$，则

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\mathrm{d}V={\int }_{z_1}^{z_2}\mathrm{d}z{\iint }_{D_z}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$