T21 二次型矩阵 可逆变换 正交变换

$f(x)=x^{T}Ax$，其中 $A$ 为实对称矩阵

可逆变换

• 若存在可逆变换 $f\stackrel{x=Py}{=}g$, 则 $g(y)=y^T(P^{T}AP)y$
• 合同: $B$ 与 $A$ 合同，且 $P$ 可逆

正交变换

• 若存在正交变换 $f\stackrel{x=Qy}{=}g$, 则 $g(y)=y^T(Q^{T}AQ)y$
• 相似: $B$ 与 $A$ 相似，且 $Q$ 正交
• 合同: 正交变换必合同，反之不然
• 谱定理: 任一实对称矩阵均可正交变换于对角矩阵