T4 子列收敛半径 阿贝尔定理

:::{prf:theorem} 阿贝尔定理

设幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ 的收敛半径为 $R$，则对于任意 $r,0<r<R$，幂级数在闭区间 $[x_0-r,x_0+r]$ 上一致收敛。

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• 故若 $R$ 为 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径，其子列 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{2n}{r}^{2n}$ 收敛的必要条件为 $|r|<R$。
• 逆否命题: 当子列 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{2n}{r}^{2n}$ 发散时，有 $|r|\ge R$。