T5 二次型 惯性系数

• 合同变换不变性：若存在可逆矩阵 $C$ 使 $B=C^{T}AC$，则称 $A$ 与 $B$ 合同；合同变换不改变秩与惯性指数 $(p,q)$。
• 惯性定理：任一实对称矩阵与 $\mathrm{diag}(I_p,-I_q,0_r)$ 合同，且 $p,q$ 唯一（$p+q+r=n$）。
• 特征值判定（仅对实对称矩阵）：
  • 全为正 - 正定
  • 全为负 - 负定
  • 有正有负 - 不定
  • 含零且无异号 - 半正/半负。
• Sylvester 判别法（任一 ${\Delta }_k=0$ 则失效，顺序主子式 ${\Delta }_k=\det A_k$，从 $k=1$ 开始）：
  • 正定 - $\forall k,{\Delta }_k>0$；
  • 负定 - $\forall k,(-1{)}^k{\Delta }_k>0$（即 ${\Delta }_1<0,{\Delta }_2>0,{\Delta }_3<0,\dots$）。