T5 相似的充要条件

• 矩阵有相同的特征值，并且对应每个特征值的几何重数与代数重数相同。
  • 几何重数：$\dim \{x\in {\mathbb{R}}^n\mid (A-\lambda E)x=0\}$, 即特征值 $\lambda$ 的解空间维数
  • 代数重数：$\dim \{x\in {\mathbb{R}}^n\mid \exists p\in \mathbb{N},(A-\lambda E{)}^{p}x=0\}$, 即特征值 $\lambda$ 的重数

相似的必要条件

$$A\sim B\Rightarrow \{\begin{array}{l}f(A)\sim f(B)\\ r(A)=r(B)\\ \mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)\\ \det (A)=\det (B)\end{array}$$

例如： 若 $\exists k\in \mathbb{R},r(A-kE)\ne r(B-kE)$，则 A 与 B 不相似