T6 分块矩阵秩不等式

• $\max \{r(A),r(B)\}\le r\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)\le r(A)+r(B)$
• $\max \{r(A),r(B)\}\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$
• $r(A,AB)=r(A)$
  • $AB$ 的任意列均为 $A$ 的列的线性组合，故 $A,AB$ 有相同的列空间
  • 或考虑分块矩阵乘法 $\left(\begin{array}{cc}E& -B\\ 0& E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& AB\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$
• $r\left(\begin{array}{c}A\\ BA\end{array}\right)=r(A)$