T8 单个正态总体的抽样分布

设总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，样本容量为 $n$，样本均值为 $\bar{X}$，样本方差为 $S^2$。

$$E(\bar{X})=\mu ,D(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$$

• 推断均值 $\mu$
  • 若方差已知：$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
  • 若方差未知：$\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
• 推断方差 ${\sigma }^2$
  • 若均值已知：$\frac{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n)$
  • 若均值未知：$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$