T10 ⚠️ 两类错误 及拒绝域

设 $H_0:\mu \le 10,H_1:\mu >10$，样本容量 $n=16$, 总体 $N(\mu ,4)$

• 拒绝域：$\bar{X}>k$

  • 右侧检验，显著性水平 $\alpha$

• 第一类错误：在 $H_0$ 为真时拒绝 $H_0$，即 $\mu \le 10$ 时 $\bar{X}>k$，概率为 $\alpha$

  $$\alpha =P\{\bar{X}>k|\mu \le 10\}=P\left\{Z>\frac{k-10}{\sigma /\sqrt{n}}\right\}=1-\Phi \left(\frac{k-10}{0.5}\right)$$

• 第二类错误：在 $H_1$ 为真时接受 $H_0$，即 $\mu >10$ 时 $\bar{X}\le k$，概率为 $\beta$

  $$\beta =P\{\bar{X}\le k|\mu >10\}=P\left\{Z\le \frac{k-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\right\}=\Phi \left(\frac{k-\mu }{0.5}\right)$$