T2 线面积分 向量场的通量 二型面转一型面

$$\begin{array}{rl}\Phi & ={\iint }_{\Sigma }\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S\\ & ={\iint }_S(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\mathrm{d}S\\ & ={\iint }_{S}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

例如： 转为对 xOy 面的投影 (以 $z+$ 方向为例)：

$${\iint }_{\Sigma }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_D\left(P\left(\frac{\cos \alpha }{\cos \gamma }\right)+Q\left(\frac{\cos \beta }{\cos \gamma }\right)+R\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$