T21 线性方程组 相同齐次解问题

求所有满足 $A\beta =0$、$A\alpha =\beta$ 的非零向量 $\alpha$ 与 $\beta$。

1. 齐次方程 $A\alpha =0$ 与 $A\beta =0$ 同解，解得通解 $x_h=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$
2. 非齐次方程 $A\alpha =\beta$，由于存在非零解，故 $\bar{A}=[A|\beta ]$ 中 $r(\bar{A})=r(A)$，解出对应的 $k_1,k_2$。故 $\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$，再代入非齐次方程求特解 ${\alpha }_0$。
3. 非齐次通解 $\alpha ={\alpha }_0+k_3{\alpha }_1+k_4{\alpha }_2$。
4. 注意：$\alpha$ 通解的系数与 $\beta$ 通解的系数无关。