T22 正态分布的绝对值函数分布

设随机变量 $X\sim N(\mu ,\sigma )$，随机变量 $Y=|X-\mu |$

• 分布函数 $F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0\\ P(|X-\mu |\le y)=2\varphi \left(\frac{y}{\sigma }\right),& y\ge 0\end{array}$
• 概率密度 $f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y^2}{2{\sigma }^2}},& y\ge 0\\ 0,& y<0\end{array}$
• 期望 $E(Y)={\int }_0^{\infty }y{f}_Y(y)\mathrm{d}y=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sigma$
• 方差 $D(Y)=E(Y^2)-[E(Y){]}^2={\sigma }^2(1-\frac{2}{\pi })$