T22 条件概率 全概率公式

$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i),\{B_i\}\text{ 构成完备事件组}$$

当 $X=1$ 时，$Y\sim U(0,1)$; 当 $X=2$ 时，$Y\sim U(0,2)$.

$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)=P(Y\le y)& =P(Y\le y|X=1)P(X=1)+P(Y\le y|X=2)P(X=2)\\ & =\frac{1}{2}P(Y\le y|X=1)+\frac{1}{2}P(Y\le y|X=2)\end{array}$$

分情况讨论

• 当 $y<0$ 时，$P(Y\le y)=0$.
• 当 $0\le y<1$ 时，$P(Y\le y)=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\cdot \frac{y}{2}=\frac{3y}{4}$.
• 当 $1\le y<2$ 时，$P(Y\le y)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{y-1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{y}{4}$.
• 当 $y\ge 2$ 时，$P(Y\le y)=1$.