T3 可微判别

• 必要条件：偏导数存在
• 定义判定： $\begin{array}{rl}\Delta z& =f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\\ & =A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )\\ & =f_x(x,y)\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2})\end{array}$ 其中 $A,B$ 不依赖于 $\Delta x,\Delta y$, 而仅与 $x,y$ 相关
• 极限判别式判定：如果 $f_x(x_0,y_0)$ 和 $f_y(x_0,y_0)$ 存在，且 ${\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$ 则函数在该点可微。