T3 极限与导数 极限复合问题

极限复合，要求外层函数反函数存在（原函数在定义域内单调）

已知数列 $\{x_n\}$, 其中 $-\frac{\pi }{2}<x_n<\frac{\pi }{2}$

当 ${\lim }_{x\to \infty }\sin (\cos x_n)=A$ 时，$\sin x$ 在 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 单调递增且连续。故 $\lim$ 可交换。

${\lim }_{n\to \infty }\cos x_n=\arcsin A$

故 ${\lim }_{n\to \infty }\cos x_n$ 存在

由于 $\cos x$ 在 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 不是单调函数，故 ${\lim }_{n\to \infty }\cos x_n$ 极限不一定存在。