T21 二次型 f 的秩等于对应实对称矩阵 $A^{T}A$ 的秩

证明 $r(A^{T}A)=r(A)$:

• 只需证 $A^{T}Ax=0$ 与 $Ax=0$ 同解。

  • 若 $x$ 使 $Ax=0$, 则显然 $A^{T}Ax=0$.
  • 若 $x$ 使 $A^{T}Ax=0$, 则 $x^T{A}^{T}Ax=0$, 即 $(Ax{)}^T(Ax)=0$, 故 $Ax=0$.

• BG

  • 向量 ${\alpha }_2$ 在 ${\alpha }_1$ 方向的投影为 $\frac{({\alpha }_2,{\alpha }_1)}{({\alpha }_1,{\alpha }_1)}{\alpha }_1$
  • 向量 $\alpha -\beta =\gamma \Rightarrow \alpha =\beta +\gamma$, 即 $\beta$ 与 $\gamma$首尾相连等于 $\alpha$

• 施密特正交化

  • 设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，则可由它们构造出一组与之张成同一空间的正交向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$
  • 具体构造过程：
    • ${\beta }_1={\alpha }_1$
    • ${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$
    • ${\beta }_3={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2$